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《中级计量经济学》 蒋岳祥 第一章 引言 1.1什么是计量经济学？ 计量经济学是由挪威经济学家R.Fisher在三十年代首先创立的一门学科，是关于运用统计方法测量经济关系的艺术与科学，已经成为现代经济学的重要组成部分之一。 如果要给计量经济学（Econometrics）下一个较为确切的定义，我们可以这样界定： 计量经济学是这样一门学科，它根据以往历史的经济资料与数据，从经济理论出发，运用数理统计的分析方法对经济关系建立经济计量模型，并依据所建立的模型对经济系统进行结构分析，经济预测和政策评价。所以计量经济学涉及数学学科中的统计学领域和经济学领域，统计学与经济理论是计量经济学的两块基石。 经济现象包罗万象，影响经济的因素有很多，如果我们企图将所有的因素作为研究的对象，我们可能什么结论也得不到，研究经济问题的一般方法是：我们总是选用最重要的因素变量而屏弃一些非本质的因素（变量），还需要了解哪些经济现象是有待解释的，哪些重要因素是有助于解释这些经济现象的，如何度量量化那些因素，并努力寻求它们之间存在的数量关系，并用统计推断来检验这些关系，故一般建立计量经济模型的过程与方法是：  计量经济模型建立，求解，解释过程图 1.2 计量经济模型(Econometric Modeling)实例 学过经济学中凯恩斯经济理论的人都知道，理论上说消费和收入存在着密切的联系，如果C表示消费，Y表示收入。则C与Y的关系，可用消费函数表示： C=f（Y） （1） 这样的函数满足： 1）边际消费倾向（MPC）位于0和1之间，即 0＜＜1； 2）平均消费倾向（APC）是随着收入的增加而减少。 我们不妨将第二个条件作些化解，这个条件用数学语言表示是：＜0， 而 ＜0 即MPC＜APC。 在现实经济社会中，消费与收入之间的关系很难确切地用方程（1）表示收入，我们所能采集到的数据往往受到这样那样的影响，我们可用随机扰动来表示这些影响，所以，我们要对方程（1）要作适当调整，于是消费和收入之间的关系可以写成如下形式： （2） 其中是随机扰动。 满足凯恩斯条件的很多，无法枚举穷尽，但我们可以大致将它们分为线性模型与非线性模型两类。 [例1]线性模型(Linear Model) 方程（2）的一个最简单的情况，是C与Y的线性关系，即 C=+Y+ （3） 其中0＜＜1，＞0 如果我们现在从历史记录中或观察到N个样本，即（Yt，Ct），t=1.2，……N，于是我们有如下一组方程： C1=+Y1+1 C2=+Y2+2 ……… CN=+YN+N 这便是典型的一元线性回归模型。 [例2]非线性模型(Nonlinear Model) 一般情况下，方程（2）都是非线性的情况。例如： C=+Y+, 其中0＜＜1，＞0 显然，当=1时，它就是例1的情况。而，，现在我们假设0＜＜1则，MPC＞0即该模型满足凯恩斯的…………
课程简介 课程号： 课程名称(含英文主)：研究生《中级计量经济学》（Intermediate Econometrics） 学分：2 周学时：4 预修课程：经济学、高等数学、概率论和数理统计 内容简介： 首先介绍计量经济学中必须具备的数学知识如高等代数中矩阵、概率论与数理统计中点估计、有效估计、一致估计、区间估计、假设检验、大样本与极限理论等。而后介绍古典线性回归模型、多元线性回归模型、带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验、正态线性统计模型的最大似然估计、古典线性的大样本理论、非球形扰动与广义最小二乘、异方差性、非线性回归模型等。 选用教材或参考书： 教材： William H. Greene，Econometrics Analysis, fourth edition。 参考书： 1．William H. Greene，经济计量分析，Econometrics Analysis 的翻译, 中国社会科学出版社。 2．课件。 教学大纲 课程号： 课程名称(含英文主)：研究生《中级计量经济学》（Intermediate Econometrics） 学分：2 周学时：4 预修课程：经济学、高等数学、概率论和数理统计 一、课程的教学目的和基本要求： 本课程为已具备经济学，概率论和数理统计以及初级计量经济学的研究生开设?…………
上课材料之三： 分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation) 与方差(Variance) 本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。 一、概率(Probability) 1、概率定义(Definition of Probability) 在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。 随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。 频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。 对于一个随机事件A，用一个数P（A）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P（A）就称为随机事件A的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。 对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。 概率的定义 定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率，如果它满足如下三个条件： （i）P（A）≥0，对一切F （ii）P（Ω）=1； （iii）若，i=1,2…，且两两互不相容，则 性质（iii）称为可列可加性（conformable addition）或完全可加性。 推论1：对任何事件A有； 推论2：不可能事件的概率为0，即； 推论3：。 2、条件概率(Conditional Probability) 如果P（B）＞0，记，称P（A|B）为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 转化后有：如果（P（A）＞0），称为概率的乘法原理。 推广后的乘法原理： 其中＞0。 3、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式 设事件A1，A2，…，An……是样本空间Ω的一个分割，即AiAj=φ，i≠j，而且：。 从而，这里AiB也两两互不相容。 则。 这个公式称为全概率公式。 由于 故 再利用全概率公式即得 这个公式称为贝叶斯公式。 贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用，假定A1，A2，…是导致试验结果的“原因”，P（Ai）称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件B，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”，条件概率P（Ai|B）称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的…………
上课材料之四 第三节 数理统计（Mathematical Statistics） 数理统计的方法及考虑的问题不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性来考虑资料的收集、整理和分析，从而找出相应的随机变量的分布律或它的数字特征。由于大量的随机试验必能呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来，但是实际上所允许的观察永远只能是有限的，有时甚至是少量的。因此我们所关心的问题是怎样有效地利用有限的资料，便能去掉那些由于资料不足所引起的随机干扰，而把那些实质性的东西找出来，一个好的统计方法 就在于能有效地利用所获得的资料，尽可能作出精确而可靠的结论。 1、数理统计的基本概念 1）母体和子样 我们把所研究的全部元素组成的集合称为母体或总体，而把组成母体的每个元素称为个体。 为了对母体的分布律进行各种研究，就必需对母体进行抽样观察。一般来说，我们还不止进行一次抽样观察，而要进行几次观察。设X1，X2，…Xn是所观察到的结果，显然它是随机变量，称它为容量是n的子样。把X1，X2，…Xn所取值的全体称为子样空间。 我们抽取子样的目的是为了对母体的分布律进行各种分析推断，因而要求抽取的子样能很好地反映母体的特性，这就必须对随机抽样的方法提出一定的要求。通常提出下面两点： （i）代表性：要求子样的每个分量Xi与所考察的母体X具有相同的分布F(x)； （ii）独立性：X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，也就是说，每个观察结果即不影响其它观察结果，也不受其它观察结果的影响。 满足上述两点性质的子样称为简单随机子样，获得简单随机子样的抽样方法称为简单随机抽样。 对于简单随机子样X=（X1，X2，…，Xn），其分布可以由母体的分布函数F（x）完全决定，X的分布函数是。 2）统计量 一般来说，子样的某种不含任何未知参数的函数，在统计学中都可以称为统计量。 统计量： 非统计量： 3）常用的统计量—子样矩 r阶矩（或r阶原点矩）：为子样均值。 r阶中心矩：为子样方差。 总结：对于母体，我们有母体均值μ，母体方差，母体的k阶原点矩和k阶中心矩； 对于子样，我们有子样均值，子样方差，子样的r阶矩Ar和r阶中心矩Br。 我们可以得到如下结论： 定理1 设母体服从分布F(x)，X=（X1，…，Xn）是从该母体中抽得的一个简单随机子样，如果F(x)的二阶矩阵存在，则对子样均值，有 和 [证明] 思考：是否存在更简单的证明方法？ 定理2 对于子样方差，其均值 证明：因为，所以 （其中） 4）顺序统计量、经验分布函数与子样矩 设（X1，…，Xn）是从母体 中抽取的一个子样，记（x1,x2…,xn）是子样的一个观察值，将观察值的各分量按大小递增次序排列，得到 ≤≤…≤ 当（X1，…，Xn）取值为（x1,…,xn）时，我们定…………
上课材料之二： 第二章 数学基础 (Mathematics) 第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 数理统计（Mathematical Statistics） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m×n矩阵可表示为： 矩阵的加法较为简单，若C=A+B，cij=aij+bij 但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A是一个m×n1的矩阵，B是一个n1×n的矩阵，则C=AB是一个m×n的矩阵，而且，一般来讲，AB≠BA，但如下运算是成立的： 结合律（Associative Law） (AB)C=A（BC） 分配律（Distributive Law） A(B+C)=AB+AC 问题：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？ 向量（Vector）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row vector)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一个标量，则αA=[αaij]。 矩阵的转置矩阵(transpose matrix)记为，是通过把的行向量变成相应的列向量而得到。 显然()′=，而且（+）′=+， 乘积的转置（Transpose ofａ production ） ，。 可逆矩阵（inverse matrix），如果n级方阵(square matrix)A和B，满足AB=BA=I。则称A、B是可逆矩阵，显然，。如下结果是成立的： 。 2.2 特殊矩阵 1）恒等矩阵(identity matrix) 对角线上元素全为1，其余全为0，可记为I； 2）标量矩阵(scalar matrix) 即形如αI的矩阵，其中α是标量； 3）幂等矩阵(idempotent matrix) 如果矩阵具有性质，这样的矩阵称为幂等矩阵。 定理：幂等矩阵的特征根要么是1，要么是零。 4）正定矩阵（positive definite）和负定矩阵（negative definite），非负定矩阵(nonnegative　)　或　半正定矩阵（positive semi-definite ），非正定矩阵(nonpositive definite)　或　半负定矩阵（negative semi-definite）； 对于任意的非零向量，如有＞0（＜0），则称A是正（负）定矩阵；如有≥0（≤0），非负（非正）定矩阵。如果A是非负定的，则记为A≥0；如果是正定的，则记为A＞0。协方差矩阵是半正定矩阵，几个结论： a）恒等矩阵或单位矩阵是正定的； b）如果是正定的，则也是正定的； c）如果是正定的，是可逆矩阵，

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